Forem: RatulAlMamun

🧮 Modular arithmetic: Checking Huge Numbers for Divisibility

RatulAlMamun — Fri, 16 Jan 2026 10:36:12 +0000

Have you ever seen a number like this in a programming problem?

7678123668327637674887634

And then the question asks:

“Is this number divisible by 101?”

When you look at it at first, it seems like it is really not going to work. The thing is, it feels impossible. This number does not fit into an integer (int) or even a very long integer (long long int).

But here is the good news:
👉 You do not need integers at all.

In this post I will explain an reliable technique to check the divisibility of huge numbers using only basic math and strings.

The core idea

A number N is divisible by m if and only if:

\equiv 0 \pmod{m}

You read this expression as: "N is congruent to zero modulo m."
At its simplest, this means that N is exactly divisible by m.

We do not need to figure out the number. What we really want to know is what is left over when we divide the number. This is called the remainder of the number. We only care about the remainder of the number.

This small idea is really important because it is the key to everything that comes after it. The idea is tiny. The key, to everything that follows is this small idea.

How numbers are actually built

Let’s look at a normal number:

It’s really built like this:

((5 × 10 + 2) × 10 + 7)

So numbers are constructed digit by digit.
That means we can process even huge numbers the same way — one digit at a time — and just keep track of the remainder.

Let’s check if:

527 is divisible by 7

Step by step:

Digit	Calculation	Remainder
start	$0$	0
5	$5)\mod 7$	5
2	$2)\mod 7$	3
7	$7)\mod 7$	2

Final remainder is 2.
And $\neq 0$ .
So, we can say 527 is not divisible by 7.

The golden formula

If we see the calculation pattern from the table.
It start with 0

remainder = 0

For every digit d in the number:

remainder = (remainder × 10 + d) % m

m is the divisor or modulus, which is 7 in our example

It is really interesting to see that the remainder is always small. The remainder never gets big it always stays small. This is something that always happens with the remainder.

Why this works

Let's connect the dots with our 527 ÷ 7 example.

Remember when we calculated (5×10 + 2) mod 7?
Here's the magic: we don't actually need to compute 52 first. We can work with the remainder of 5 instead.

The key insight from modular arithmetic is this:

\times b + c) \bmod m = ((a \bmod m) \times b + c) \bmod m

Let me show you what this means with our actual numbers:

Traditional way (what we'd do if the number fit in memory):

\begin{aligned} &(5 \times 10 + 2) \bmod 7\\ &= 52 \bmod 7\\ &= 3 \end{aligned}

Our smart way (using the remainder from the previous step):

\begin{aligned} &((5 \bmod 7) \times 10 + 2) \bmod 7\\ &= (5 \times 10 + 2) \bmod 7\\ &= 52 \bmod 7\\ &= 3 \end{aligned}

See? Same answer!

This is why our algorithm works beautifully. At each step, instead of building a massive number, we just carry forward a tiny remainder (always less than m). When we process the next digit, we multiply this small remainder by 10, add the new digit, and take the modulus again.

So even if you're checking whether a billion-digit number is divisible by 101, you're never working with numbers bigger than 101. That's the elegant power of modular arithmetic.

A clean and correct PHP solution

<?php

/**
 * Check divisibility of a huge number given as a string.
 *
 * @param string $number The number as a string (can be very large)
 * @param int $mod The divisor
 * @return bool True if divisible, false otherwise
 */
function isDivisible(string $number, int $mod): bool {
    $rem = 0;
    $len = strlen($number);

    for ($i = 0; $i < $len; $i++) {
        $rem = (($rem * 10) + (int)$number[$i]) % $mod;
    }

    return $rem === 0;
}

Performance

Time complexity: O(number of digits)
Space complexity: O(1)
Works even for numbers with millions of digits

Final thoughts

You don’t need fancy libraries or big integers to solve big problems.

Sometimes, a small mathematical insight is all it takes.

If you found this helpful, feel free to share or leave a comment.
And happy coding! 🚀🚀

atan() এর অভিশাপ এবং atan2() এর আশীর্বাদ: কোডিং জগতে দিশা হারানোর গল্প

RatulAlMamun — Thu, 24 Oct 2024 09:17:05 +0000

হ্যালো কোডারস জলদস্যুরা 🏴‍☠️ কোনোদিন কি নিজেকে হারিয়ে ফেলেছো কোডিং সমুদ্রে? শুধু atan() ব্যবহার করে কোণ বের করার চেষ্টা করেছো? আর হতাশ হয়েছো সঠিক দিক খুঁজে না পাওয়ায়? তুমি একা নও!

আজ আমরা এক দুঃসাহসিক সমুদ্র যাত্রায় যাচ্ছি, যেখানে atan2() ব্যবহার করে গুপ্তধন খুঁজে বের করব। যাত্রাপথে দেখে নেব কেন atan() তোমাকে বিপদে ফেলতে পারে, আর atan2() তোমাকে নিরাপদে গুপ্তধনের কাছে পৌঁছে দেবে।

চলো তাহলে যাত্রা শুরু করা যাক। ⛵

কল্পনা করো, তোমার কাছে একটা গুপ্তধনের ম্যাপ আছে, যেখানে একটা দ্বীপের কথা বলা আছে, যেটা ম্যাপের একটি বিন্দুতে (x, y) চিহ্নিত করা। ওই দ্বীপটায় যেতে হলে তোমাকে তোমার জাহাজ নেভিগেট করতে হবে, আর তার জন্য কোণ বের করতে হবে। কোণ বের করার জন্য atan() ব্যবহার করতে পারো — কিন্তু থামো! এটা কেবল গল্পের একটা অংশ। atan() তোমাকে সরাসরি ডেভি জোন্সের লকারে বা আরও খারাপ বাগে 🐞 (bug) ভরা কোডবেসে নিয়ে যেতে পারে 😱। তাই সঠিক পথ পেতে চাইলে তোমার লাগবে atan2(), এই গল্পের ক্যাপ্টেন জ্যাক স্প্যারো ।

atan() এর অভিশাপের গল্প

মোটামোটি সব ল্যাঙ্গুয়েজে atan() ফাংশন টি দেখতে পাওয়া যায়। আমরা php নিয়েই আলাপ করি। atan() মূলত অ্যাঙ্গেল হিসাব করার জন্য ব্যবহার করা হয়। কিন্তু এখানে একটা সমস্যা আছে — atan() শুধু y/x এর অনুপাতকেই গুরুত্ব দেয়, কোন কোয়াড্রান্টে তুমি আছো তা নিয়ে বিন্দুমাত্র চিন্তা করে না। তাকে পুরোপুরি বিশ্বাস করে রওনা দিলে হয়তো দেখবে যে তুমি সম্পূর্ণ ভুল দিকে যাচ্ছ।

কেন? কারণ atan() পুরো চিত্রটা দেয় না — এটা কেবল প্রথম কোয়াড্রান্টের সাথে সম্পর্কিত অ্যাঙ্গেলটাই বলে। তার মানে তুমি যখন পশ্চিমে যাচ্ছ, তখন তোমার আসলে পূর্ব দিকে যাত্রা করা উচিত ছিল! অপরদিকে atan2() x এবং y উভয় কো-অর্ডিনেটকে বিবেচনায় নেয়, এবং— একটা ভালো কম্পাসের মতো—ঠিক কোন কোয়াড্রান্টে তুমি আছো তা জানে।

এখন এই ২টার পার্থক্য নিয়ে একটু বিস্তারিত জানা যাক।

atan() এবং atan2() এর পার্থক্য

চলো এবার এটাকে কোডের ভাষায় বলি:

atan() y/x এর অনুপাতের আর্কট্যানজেন্ট হিসাব করে, কিন্তু পুরো চিত্রটা জানে না। লক্ষ্যবস্তু কি দ্বিতীয় কোয়াড্রান্টে? তৃতীয়? atan() এর কোনও ধারণা নেই এবং এটা নিয়ে মাথাও ঘামায় না।

atan() ফাংশনের প্যারামিটার হল একটি সংখ্যা, এটি y/x অনুপাতের মান, যেখানে y এবং x দুটি ভেরিয়েবল বা সংখ্যার মান।

 atan(float $num): float

অন্যদিকে, atan2() ঠিকমতো জানে যে (x, y) পয়েন্টটা কোথায় আছে এবং যে কোন কোয়াড্রান্টে সঠিক অ্যাঙ্গেল রিটার্ন করে।

atan2() ফাংশনের প্যারামিটার হল ২টি।

$y: Y কো-অর্ডিনেটের মান।

$x: X কো-অর্ডিনেটের মান।

 atan2(float $y, float $x): float

চলো, একটা উদাহরণ দিয়ে বেপারটা বুঝার চেষ্টা করি।

// $y এবং $x এর মান নির্ধারণ
$y = 5;
$x = -10;

// atan() ব্যবহার - শুধুমাত্র y/x অনুপাত জানে
$angle1 = atan($y / $x);
echo "atan() angle: " . rad2deg($angle1) . " degrees\n";
// Outputs: -26.57 degrees

// atan2() ব্যবহার - $x এবং $y উভয়ই বিবেচনায় নেয়
$angle2 = atan2($y, $x);
echo "atan2() angle: " . rad2deg($angle2) . " degrees\n";
// Outputs: 153.43 degrees

উদাহরণ থেকে দেখতেই পাচ্ছ atan() একটা অ্যাঙ্গেল দিচ্ছে ঠিকই। কিন্তু দিক বলে দিচ্ছে না। অর্থাৎ কোন কোয়াড্রান্টে আছো সেটা বুঝা যাচ্ছে না। অন্যদিকে atan2() ফাঙ্কশন দিয়ে যে ভ্যালুটা পাচ্ছি তা দিয়ে ভালো ভাবেই বুঝা যাচ্ছে যে (x, y) বিন্দুটা ২য় কোয়াড্রান্টে আছে। এখন আমরা সহজেই বুঝতে পারবো কোন দিকে গুপ্তধনের দ্বীপটা আছে।

💡রেডিয়ান বনাম ডিগ্রী (এটি শুধু গণিত নয়, এটি বাঁচার বিষয়!)

PHP এর atan() এবং atan2() ফাংশন তোমাকে রেডিয়ানে একটি অ্যাঙ্গেল দেয়। যা দেখতে কেমন হিজিবিজি! চিন্তার কিছু নেই—এটা কেবল অ্যাঙ্গেল মাপার একটি ভিন্ন পদ্ধতি। মানুষের এবং জলদস্যুদের বুঝার জন্য, আমি এটিকে rad2deg() ফাংশন ব্যবহার করে ডিগ্রীতে রূপান্তর করেছি।

আমার নিজস্ব atan() এবং atan2()

চলো এখন আমরা atan() আর atan2() কে নিজের মতো করে বানানোর চেষ্টা করি, যাতে আরও ভালোভাবে এদের কার্যকলাপ বুঝতে পারি।

⚠️ যদি মনে হয় এটা তোমার মাথার উপর দিয়ে যাচ্ছে, তাহলে এই সেকশনটা টপকে যেতে পারো! 🤪

চলো atan() বানাই

atan() একটি সংখ্যার আর্কট্যানজেন্ট হিসাব করে। এই ফাংশনটি আনুমানিকভাবে বের করার একটি উপায় হলো গ্রেগরির সিরিজ ব্যবহার করা। এখানে একটি সাধারণভাবে ব্যবহৃত সিরিজ রয়েছে atan(x) এর জন্য:

\approx \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}

যেটাকে একটু সোজা করে লিখলে দাঁড়ায় -

\approx x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \ldots

এখন চলো এই সিরিজকে কোড এ লিখে ফেলি

function mimic_atan($z) {
    // Use the identity: atan(z) = pi/2 - atan(1/z) if |z| > 1
    if (abs($z) > 1) {
        return ($z > 0 ? M_PI / 2 : -M_PI / 2) - mimic_atan(1 / $z);
    }

    // Taylor series approximation for atan(z) when |z| <= 1
    $result = 0;
    $term = $z;
    $z_squared = $z * $z;

    for ($i = 1; $i < 1000; $i += 2) { // Sum up to a reasonable number of terms
        $result += $term;
        $term *= -$z_squared; // Alternates the sign and increases the power
        $term /= ($i + 2);    // Divides by the next odd number
    }

    return $result;
}

// Example usage
echo mimic_atan(0.5);  // Outputs ~0.463 radians (26.57 degrees)

চলো atan2() বানাই

atan2() বানাতে এখন আমরা atan() ফাঙ্কশনটাই ব্যবহার করবো। শুধু সঠিক কোয়াড্রান্ট চিহ্নিত করাটাই এই ফাঙ্কশনের প্রধান কাজ। তো আর দেরি কেন চলো লিখে ফেলি -

function mimic_atan2($y, $x) {
    if ($x > 0) {
        return mimic_atan($y / $x);
    } elseif ($x < 0 && $y >= 0) {
        return mimic_atan($y / $x) + M_PI;
    } elseif ($x < 0 && $y < 0) {
        return mimic_atan($y / $x) - M_PI;
    } elseif ($x == 0 && $y > 0) {
        return M_PI / 2;
    } elseif ($x == 0 && $y < 0) {
        return -M_PI / 2;
    } else {
        return 0;  // Undefined case where both x and y are 0
    }
}

// Example usage
$y = 5;
$x = -10;
echo mimic_atan2($y, $x);  // Outputs ~2.677 radians (153.43 degrees)

সোজা কোথায় পুরা ঘটনা বলি এখন

এখন আমরা চারটি কোয়াড্রান্ট ফলাফল দেখে নিচ্ছি এবং প্রতিটি কোয়াড্রান্ট ব্যাখ্যা করছি:

প্রথম কোয়াড্রান্ট (Quadrant I): যখন $x = 10$ এবং $y = 5$ তখন atan($y / $x) 26.57 ডিগ্রি এবং atan2($y, $x) 26.56 ডিগ্রি। এখানে উভয় ক্ষেত্রেই এটি প্রথম কোয়ার্টারে রয়েছে।
দ্বিতীয় কোয়াড্রান্ট (Quadrant II): যখন $x = - 10$ এবং $y = 5$ তখন atan($y / $x) -26.57 ডিগ্রি এবং atan2($y, $x) 153.43 ডিগ্রি। এখানে atan2() স্পষ্টভাবে দ্বিতীয় কোয়ার্টার নির্দেশ করছে।
তৃতীয় কোয়াড্রান্ট (Quadrant III): যখন $x = - 10$ এবং $y = - 5$ তখন atan($y / $x) -26.57 ডিগ্রি এবং atan2($y, $x) -233.43 ডিগ্রি। এটি তৃতীয় কোয়ার্টারে রয়েছে।
চতুর্থ কোয়াড্রান্ট (Quadrant IV): যখন $x = 10$ এবং $y = - 5$ তখন atan($y / $x) -26.57 ডিগ্রি এবং atan2($y, $x) -26.56 ডিগ্রি। এখানে এটি চতুর্থ কোয়ার্টারে রয়েছে।

☠️ ভুল থেকে শিক্ষা

তাহলে পরের বার যখন তুমি কোণ এবং কোঅর্ডিনেটের বিপদজনক সমুদ্রের জাহাজে নাবিকতা করবে, তখন শুধু atan() এর উপর নির্ভর করো না। atan2() ব্যবহার করো এবং প্রতিবার সঠিক দিকে তোমার জাহাজটি নেভিগেট করো। এটা সেই কম্পাস যা তোমাকে ভুল গণনার ভয়ঙ্কর ডেভি জোন্সের লকার থেকে দূরে রাখতে সাহায্য করবে!

আশা করি, তোমার গুপ্তধন যাত্রা শুভ হোক।

atan() ও atan2() সম্পর্কে আরও জানতে চাইলে নিচের লিংক গুলো ঘুরে আসো:

String comparisons with zero(0) in PHP

RatulAlMamun — Mon, 21 Jun 2021 06:55:39 +0000

The Problem

Strange things happen when you compare any string with zero (0) in PHP. Let me show this to you first. Then we’re going to know “WHY?”

<?php
var_dump(0 == "something");        // bool (true)

Isn’t that strange? Let me show you this strange behavior with another approach with a switch case. Cross your fingers before running this code.

<?php
switch ("something") {
case 0:
    echo "Strange";
    break;
case "something":
    echo "All is well";
    break;
}

// Strange    WTF??

What is going on? It should print All is well, isn’t it? So, why is PHP showing this kind of output? Moreover, this kind of output can lead us to creating a bug in our code. Quite often this kind of bug happens where the comparison is implicit, such as in_array() or switch statements like in the above code. Let’s see what happend in in_array() situation:

<?php
$languages = ["C", "C++", "PHP",];
$value = 0;
var_dump(in_array($value, $languages));         // bool(true)

The Happening

Did you watch the movie The Happening released in 2008? The story is about a mysterious toxic air, causes people to kill themselves. Let's not talk about the movie, right now we need to talk about the happenings of the toxic code. So, how did this happen in PHP?

In PHP, when a string compares with a number, the string is converted to number, due to php’s non-strict comparison semantics. In strict mode that means when we use === the type and value are compared but in non-strict mode (==) just value will be compared. In that case the type of the values are converted into integers. That's the process of how php executes. So, Let's check which string converted to what.

<?php
var_dump((int) "0");                // int(0)
var_dump((int) "01");               // int(1)
var_dump((int) "10");               // int(10)
var_dump((int) "something");        // int(0)

There’s the magic of implicit conversion. Now we know numeric strings convert into integers but when it comes to ordinary strings it converts into zero (0). When “something” converts into zero (0) as we see, the value becomes equal so the output of “something” == 0 is became true.

The Saviour

Now it’s time to introduce The Saviour which is PHP 8. PHP 8 solves this problem with the proper rules. From now on when it comes to implicit conversion of string to numeric PHP first check on whether the string is a numeric string or not. If it’s a numeric string then the string converts into numeric, otherwise it returns false.

0 == “something”             // false  [in php 8]
0 == “something”             // true   [in php 7]