Forem: Programozás és elemzés Olivérrel

Módusz és medián gyakorisági soroknál

Programozás és elemzés Olivérrel — Mon, 20 Apr 2026 13:21:32 +0000

Gyakorisági sorok esetében a módusz, valamint a medián számolása kissé trükkös, de meg lehet érteni a képlet mögötti logikát. Ha esetleg nem lennél tisztában a két fogalommal, a módusz a leggyakoribb (legtöbbször előforduló) érték, a medián pedig a helyzeti középérték. Nézzünk egy adatsort:
1,2,2,3,4,7,10,12
A módusz itt a kettő, hiszen az fordul elő a legtöbbször. A medián a középső érték lenne, tehát az, amelyik fizikailag középen van, viszont az elemszámunk páros, tehát két középső is létezik. Ezek a három és a négy.
Ha átlagoljuk őket, akkor megkapjuk a mediánt, ami jelen esetben 3,5.
Létezik erre két képlet is, az egyik a páros, a másik a páratlan elemszám esetében használható. A képlettel az elem/elemek sorszáma adható meg!

Páratlan elemszámnál:

\frac{n+1}{2}

Páros elemszámnál:

i_1 = \frac{n}{2} \newline i_2 = \frac{n}{2} + 1

Páratlan számoknál egyszerűen csak kiválasztjuk a megfelelő i. sorszámú elemet. Páros elemszám esetében két sorszámot kapunk, ezt a két elemet átlagoljuk.
Ha Python-ban számolod ki ezen értékeket, akkor eltérő végeredményre jutsz. Ennek az oka az, hogy sok statisztikai könyvtár interpolációs megoldást alkalmaz, de erről majd egy másik bejegyzésben fogok értekezni. Most jöjjenek a számok!

A gyakorisági sor

Érték	Gyakoriság	Kumulált gyakoriság
10 - 19	3	3
20 - 29	5	8
30 - 39	8	16
40 - 49	4	20
50 - 59	2	22

Módusz

\frac{k_1}{k_1 + k_2} \cdot h_{mo}

mo = a módusz osztályközének alsó határa
k1 = módusz osztályköz gyakorisága - módusz előtti osztályköz gyakorisága
k2 = módusz osztályköz gyakorisága - módusz utáni osztályköz gyakorisága
hmo = módusz osztályköz hossza

Semmi más nem történik a képletben csak egy arányt számolunk, amivel megszorozzuk az osztályköz hosszát. Jelen esetben k1 és k2 aránya számít. Ahogy növekszik k1, tehát a tört számlálója, úgy nő a módusz osztályköz és az előtte lévő osztályköz gyakorisága közötti differencia. Logikus, hogy ilyenkor pont a másik irányba, tehát a következő osztályköz felé tolódik az érték. Ilyenkor a szorzó nagyobb lesz. Ha k2 értékét növeljük, akkor egyre kisebb és kisebb lesz a szorzó. (Ne zavarjon meg, hogy k1 a számlálóban és a nevezőben is megtalálható, mivel a számláló nagyobb arányban fog növekedni, mint a nevező.)
A gyakoriság a harmadik osztályközben a legnagyobb, egészen pontosan nyolc. Ilyenkor a következőképpen alakul a számítás:

{k_1} = 8 - 5 = 3 \newline {k_2} = 8 - 4 = 4 \newline Mo = 30 + \frac{3}{3+ 4} \cdot 10 \approx 34,286

Medián

A medián, mint már említettem a helyzeti középérték. Itt is hasonló logikával arányt számolunk, viszont itt nem a gyakoriságból, hanem a kumulált gyakoriságból indulunk ki. A kumulált gyakoriság annyit tesz, hogy a gyakoriság értékeit az adott sorig összeadogatjuk. Az első marad az, mint a gyakoriság, a második már két sor összege, a harmadik három sor összege, stb... A medián képlete a következő:

\frac{\frac{N}{2}-f' \tiny \text{me-1}}{f_{me}} \cdot h_{me}\newline

N = elemszám
me = medián osztályköz alsó határa
f'me-1 = medián előtti osztályköz kumulált gyakorisága
fme = medián osztályköz gyakorisága

Az első kérdés az, hogy honnan tudjuk meg, melyik a medián osztályköz. Itt az elemszám 22, annak a fele 11, tehát azt az osztályközt keressük, amelyikben a 11. elem található. Ez a középső osztályköz. (Arról az osztályközről van szó, amelyik kumulált gyakoriságba beleesik a 11-es érték.)

Próbáljuk megfejteni ezt a képletet! Az N/2 nyilván az adatok számának fele, ez a medián esetében egyértelmű, hogy miért így alakul. A kumulált gyakoriság az előző osztályközig (f'me-1) azért fontos, mert szükségünk van arra, hogy mennyi a különbsége az adatok tényleges felének, és az előző osztályközig felhalmozódott értéknek. Ezt a különbséget osztjuk le a medián osztályköz gyakoriságával. Úgy lehet ezt elképzelni, mint egy csúszkát, amely azt mutatja meg a fent megadott arányosság alapján, hogy a medián osztályköz alsó és felső határa között pontosan hol legyen a medián.
A képletbe behelyettesítve a következő értéket kapjuk:

\frac{\frac{22}{2}-8}{8} \cdot 10 = 33,75

Tetszőleges kvantilisek (egy kis extra)

Ez a rész rendkívül hasonlít a mediánra, gyakorlatilag ugyanazt a logikát követjük. A különbség annyi, hogy míg a mediánnál a felezőpontot kerestük, itt azt határozzuk meg, hogy az adatsor hányad részénél lévő értéket szeretnénk megkapni.

A képletben a következő jelöléseket használjuk:

k: megadja, hogy hanyadik egységet keressük (pl. a 3. decilist).
m: megadja, hogy hány részre osztjuk az adatsort (kvartilisnél 4, kvintilisnél 5, decilisnél 10, percentilisnél 100).
N: továbbra is az összes elem száma.

A módosított képlet pedig így néz ki:

Q_{k/m} = m_q + \frac{\frac{k \cdot N}{m}-f'\tiny \footnotesize{m_q-} \tiny{1}}{f_{m_q}} \cdot h_{m_q}

A logika itt is a "csúszka" elv. A k/m arány megmutatja, mekkora részt kell "kihasítanunk" az adatokból, mi pedig megkeressük, hogy ez a pont az adott osztályköz alsó és felső határa között pontosan hol helyezkedik el.

Osztályközök képzése SQL-ben (GROUP BY trükk)

Programozás és elemzés Olivérrel — Sun, 19 Apr 2026 12:00:58 +0000

Ebben a rendkívül rövid blogbejegyzésben arról fogok értekezni, hogyan lehet osztályközös lekérdezést létrehozni SQL nyelven. A példához MSSQL-t használok majd, de mivel az SQL szintaxisok nagyon hasonlóak, így ezt bármelyik SQL dialektusban meg lehet oldani.
Itt is van a mérhetetlenül egyszerű lekérdezés:

SELECT
    amount / 200000 * 200000 AS BinStart,
    amount / 200000 * 200000 + 199999 AS BinEnd,
    COUNT(*) AS Count
FROM Salaries
WHERE end_date IS NULL
GROUP BY
    amount / 200000;

A tábla maga így néz ki:

CREATE TABLE Salaries (
  salary_id int PRIMARY KEY IDENTITY(1, 1),
  employee_id int,
  amount int,
  start_date date,
  end_date date,
  registered datetime DEFAULT (GETDATE())
)

Hogyan működik a lekérdezés?

Az alábbi sor alakítja ki az osztályközöket úgy, hogy az "amount" oszlop értékét osztja, majd megszorozza az osztályköz hosszával:
amount / 200000 * 200000 AS BinStart
Ha belegondolunk, itt nyilván egy egész számot fogunk kapni, ami megmondja, hogy hány egészszer van meg a fizetésben az osztályköz hosszával egyenlő szám. Azért nem szükséges a FLOOR alkalmazása, mert az MSSQL erősen típusos, és integert osztunk integerrel. Ez viszont nem azt jelenti, hogy más adatbázisrendszernél ez így működik. MySQL-ben például szükséges lenne a FLOOR alkalmazása.
Ha az eredményt beszorozzuk az osztályköz hosszával, akkor nyilván n-szer kapjuk meg az annak nagyságát. Az osztályköz felső határát az összeadás biztosítja. A "GROUP BY" művelet segítségével csoportosítunk aszerint, hogy hányszor egészszer van meg a fizetésben az osztályköz hossza.
A "WHERE end_date IS NULL" azért került oda, mert a táblában az aktuális fizetésnél az "end_date" mező értéke null.

Miért működik a korreláció?

Programozás és elemzés Olivérrel — Thu, 16 Apr 2026 15:22:29 +0000

Ebben a rövid cikkben egy egyszerűnek tűnő, ámbár a színfalak mögött mélyebb gondolkodást igénylő fogalomról fogok beszélni, ami rendkívül alapvető a statisztikában, az adatelemzésben, de akár a programozás világában is. Ez a fogalom nem más, mint a korreláció.

A korreláció egy standardizált statisztikai mutató, amely megadja két úgynevezett mennyiségi ismérv közötti kapcsolat szorosságot. Mindjárt egy példával is rávilágítanék a problémára. Van két adatsorunk, a termékek ára, és az eladási számok. Szeretnénk tudni, hogy termékek ára befolyásolja-e az eladási volument. Ebben a kontextusban a termékek ára a független, az eladási volumen pedig a függő változó. Az elnevezések logikusak, hiszen a független változó értékétől függ a függő változó értéke.

Három mutatót kell először kiszámolnunk ahhoz, hogy megkapjuk a korrelációt:

a függő változó szórását
a független változó szórását
és a kovarianciát a két változó között

Ha esetleg nem ismernéd a szórás fogalmát, a szórás megmondja, hogy az egyes értékek átlagosan mennyire térnek el a sokasági átlagtól. (Egészen pontosan az átlagtól való eltérések négyzetes átlaga.) A kovariancia a változók együttmozgását méri tehát azt, hogy a két adatsor értékei mennyire változnak együtt.

A két adatsor legyen a következő:

Termék ára (független változó) (Ft): 1, 2, 3, 4, 5

Eladási volumen (függő változó) (db): 2, 4, 6, 8, 10

Átlagár: 3 Ft

Átlag eladási volumen: 6 db

A szórás képlete a következő:

\sigma = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}

A kovariancia pedig:

\text{cov}(x,y) = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n}

Szórások kiszámítása

Termék árának szórása

\sigma = \sqrt{\frac{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2}{5}} \approx 1.414

Termék eladási volumenének szórása

\sigma = \sqrt{\frac{(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2}{5}} \approx 2.828

Kovariancia kiszámítása

\frac{(1-3)(2-6) + (2-3)(4-6) + (3-3)(6-6) + (4-3)(8-6) + (5-3)(10-6)}{5}

\frac{(-2)(-4) + (-1)(-2) + (0)(0) + (1)(2) + (2)(4)}{5} = 4

Intuitív megfigyelés

Az adatok nyilván ebben a speciális esetben függvényszerűen követik egymást. Az látható, hogy a kovariancia kiszámításánál lényegében keresztbe szorozzuk az átlagtól való eltéréseket. Mivel az értékek számszorosai egymásnak, ezért a mondhatjuk, hogy az átlagtól való eltérést, és az átlagtól való eltérés számszorosát szorozzuk össze. Így tehát a variancia számszorosát fogjuk megkapni.

Ha a függő és független változók értékei számszorosai egymásnak, akkor ugyanez lesz igaz szórásokra is. Az alább képletekkel is levezettem ezt az összefüggést. Így tehát, ha függvényszerű a kapcsolat a független és függő változó között, akkor a korrelációnak mindenképpen egynek, vagy mínusz egynek kell lennie, hiszen az a kovariancia és a szórások szorzatának hányadosa. (Azt ne felejtsük el, hogy a szóban forgó Peason-féle korrelációs együttható alapvetően lineáris kapcsolatot mér. Nem lineáris kapcsolat esetében másképpen szükséges számolni.)

\sum\frac{(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{n} = \sum\frac{(x-\bar{x}) \cdot k \cdot (x-\bar{x})}{n} = \newline \newline k \cdot \sum\frac{(x-\bar{x})(x-\bar{x})}{n} = k \cdot \sum\frac{(x-\bar{x})^2}{n} = k \cdot \sigma^2

\sigma_x \cdot \sigma_y = \sigma_x \cdot (k \cdot \sigma_x) = k \cdot \sigma_x^2

A korrelációs együttható kiszámítása

A korrelációs együttható képlete a következő:

\frac{\text{cov}(x,y)}{\sigma_x \cdot \sigma_y}

Amint látod, egyszerűen csak le kell osztani a kovarianciát, a szórások szorzatával. Az így kalkulált érték egy és mínusz egy között alakulhat.

Végkövetkeztetés

Kimondhatjuk, hogyha függő változó értékei függvényszerű kapcsolatban állnak a független változó értékeivel, akkor a korreláció csak egy és mínusz egy lehet. Minden más esetben a kettő érték közötti számot fogunk kapni. Ezért működik jól ez az egyszerűnek tűnő, ámbár rendkívül hatékony mutató.